测度论1

I 抽象测度理论

定义1: $X$满足

1. $M\subset X,M$是$\sigma-algebra$

2. $\mu: M\rightarrow[0, \infty]$，$E_{i}$是可数的不相交的集合

$\mu(\sum_{n=1}^{\infty}E_{i})=\sum_{n_1}^{\infty}\mu(E_{i})$

则称X为测度空间，记为$(X,M,\mu)$

定义2: $\mu_{*}:X\rightarrow [0, \infty]$，满足

1. $\mu_{*}(\emptyset)=0$
2. $E_{1}\subset E_{2} \Rightarrow \mu_{*}(E_{1})\leq \mu_{*}(E_{2})$
3. $E_{i}$是可数则

$\mu_{*}(\cup_{j=1}^{\infty}E_{j})\leq \sum_{j=1}^{\infty}\mu_{*}(E_{j})$

则称$\mu_{*}$为$X$的外测度

定义3：$E\subset X,\forall A$

$\mu_{*}(A)=\mu_{*}(E\cap A)+\mu_{*}(E^{c}\cup A)$

则称$E$为$Caratheodory$可测

所有$Caratheodory$可测的集合构成一个$\sigma-algebra$ M，$\mu_{*}$限定在M构成一个测度函数，则$(X,M,\mu)$为由$\mu_{*}$导出的测度

II $Lebesgue$可测

定义4：$Q_{j}$为$R^{d}$上的闭立方体

$m_{*}(E)=\inf\sum_{j=1}^{\infty}|Q_{j}|$

$m_{*}$为$R_{d}$上的一个外测度

定义5：$E\subset R^{d}$,存在开集$O$，$E\subset O$

$m_{*}(O-E)\leq \epsilon$

则称$E$是$Lebesgue$可测的

通过定义5得到的可测空间与通过定义3得到的可测空间是一样的