均匀开B样条

1 原理

定义红色函数为$f_{1}$,蓝色函数为$f_{2}$

如果现在我们取$R^{n}$中的两个点$P_{1},P_{2}$,定义$f(x)=f_{1}\cdot P_{1}+ f_{2}\cdot P_{2}$,这样我们就得到了一条曲线，并且由于$f_{1},f_{2}$是连续的所以曲线也是连续的

如果我们有n个点,那我们就可以选取n个函数，通过计算得到一条曲线$f(x)=\sum f_{i}\cdot P_{i}$,$f(x)$的光滑程度与$f_{i}$有关

每个点对应一个函数，这一系列函数称为基函数

2 基函数

定义

$f_{n,n+1}(x)= \begin{cases} 1 & n \le x < n+1 \\\\ 0 & other \end{cases}$

当$k>1$递归定义

$f_{n,n+k} = \frac{x-n}{k-1}f_{n,n+k-1}+\frac{n+k-x}{k-1}f_{n+1,n+k}$

其中$f_{n,n+k}$是$C^{k-2}$的，并且有

$\sum_{i}^{i+k} f_{i,i+k} = 1\quad i+k-1\le x<i+k$

3 均匀开B样条

设有n个点为$P_{1}\dots P_{n}$，需要次数为p的一个开B样条曲线，由以上条件我们选择$f_{1,1+p+1}\dots f_{n,n+p+1}$作为基函数，于是

$f(x)=\sum_{i=1}^{n} f_{i,i+p+1}(x)\cdot P_{i}$

因为B样条曲线自变量$x$取值范围需要满足

$\sum_{i=1}^{n} f_{i,i+p+1}(x)=1$

所以取值范围为$p+1 \le x < n+1$,而为了使曲线存在需满足$p < n$

4 示例

https://examples.tbolp.club/#/bspline